sábado, 18 de junio de 2011
ECUACIONES
El siguiente mapa mental es un trabajo realizado en clase, con las ideas de los alumnos que conformamos el 8vo módulo de Sistemas de la UNL, el mismo que describe conceptos importantes sobre ECUACIONES.
miércoles, 15 de junio de 2011
ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR
ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR
El usuario se comunica con la computadora en sistema decimal, es decir, introduce en ella y extrae de ella números en base decimal. Al recibir los datos, para poder trabajar con ellos, la computadora los convierte al sistema binario, su lenguaje natural de operación. Todas las operaciones se efectúan en binario y los resultados obtenidos, antes de ser entregados al usuario, la máquina los convierte al sistema decimal. Claro está que la computadora realiza estos procesos a enormes velocidades, de manera que el usuario ni se entera de lo que sucede ahí dentro.
Sin embargo, al efectuar las conversiones y realizar los cálculos se suscitan pequeños errores que, si no se prevén, pueden propagarse y arrojar resultados muy inexactos o totalmente absurdos. Por eso es tan importante el entender la aritmética de las computadoras e identificar las situaciones en que pueden ocurrir errores severos.
La operación interna de una computadora se basa en la aritmética binaria, en la que la base es el 2 y sólo hay dos símbolos: 0 y 1, pues la memoria de la máquina consiste en un vasto número de dispositivos de registro magnético y electrónico, cada uno de los cuales sólo puede presentar uno de dos posibles estados: magnetizado en un sentido, representando al cero, o magnetizado en el otro sentido, representando al uno. Cada dispositivo magnético es un dígito binario, denominado bit (abreviatura de "binary digit").
Los bits se agrupan en unidades llamadas palabras, las cuales pueden contener 8, 16, 32 o 64 bits, dependiendo de la computadora de que se trate (los tamaños de palabra más usuales son los de 16 o de 32 bits). También se utilizan otras unidades denominadas bytes, constituidos generalmente por 8 bits, y utilizados como particiones de palabras, para representar caracteres. Así, por ejemplo, una palabra de 32 bits consta de 4 bytes.
La manera en que se usan los bits para registrar los números enteros y los números fraccionarios, varía en función del diseño de la computadora.
REPRESENTACION DE LOS NUMEROS
Cuando se usa una calculadora o una computadora digital para realizar cálculos numéricos, se debe considerar un error inevitable, el llamado error de redondeo. Este error se origina porque la aritmética realizada en una máquina involucra números con sólo un número finito de dígitos, con el resultado de que muchos cálculos se realizan con representaciones aproximadas de los números verdaderos.
El ordenador recibe, normalmente, información en decimal, que es transformada a binario por un programa interno. Posteriormente efectúa las operaciones pertinentes, pasa el resultado a decimal e informa al usuario de este resultado.
Así pues, en principio deberíamos hablar de las representación de los números en binario (la forma usual de trabajar del ordenador), pero para facilitar la comprensión, usaremos la representación decimal.
La representación de los números en el sistema decimal no es única (considerar que 0:999::: = 1:000:::). Esto también es cierto para otros sistemas de numeración, y en particular para el sistema binario. Para evitar estas ambiguedades, siempre nos referiremos a la representación finita (1 en vez de 0.999...).
En general los ordenadores digitales trabajan con un número fijo (finito) de posiciones, la longitud de palabra, cuando representan un número internamente. Esta longitud n depende de la máquina, y además algunas permiten extensiones a múltiplos enteros de n (2n, 3n, ...) que posibilitan una mayor exactitud si se necesita. Una palabra de longitud n se puede utilizar de distintas formas para representar un número:
• Punto fijo especifica un númerofijo n1 de lugares enteros, y un númerofijo n2 de decimales, de modo que n = n1+n2. En esta representación, la posición del punto decimal está fija y son pocos los dispositivos que la utilizan (ciertas máquinas de calcular, o máquinas de tipo comercial). Ejemplo 1. Sea n = 8, n1 = 3 y n2 = 5. En el sistema decimal se tienen las siguientes representaciones: 81:46 ¡! j 0 8 1 j 4 6 0 0 0 j 0:0002 ¡! j 0 0 0 j 0 0 0 2 0 j :
• Punto flotante La posición del punto decimal con respecto al primer dígito se expresa con un númeroseparado, denominado exponente. Así se obtiene la notación científica: x = a ¤ bt; con jaj < 1; b 2 N; t 2 Z donde b es la base del sistema de numeración, t es un exponente llamado característica y a se llama la mantisa. Además si jaj ¸ b¡1, es decir que el primer dígito despues del punto raiz no es cero, se dice que la representación es normalizada.
ARITMÉTICA DE PUNTO FLOTANTE
Es una forma de notación científica usada en los CPU, GPU, FPU, etc, con la cual se pueden representar números reales extremadamente grandes y pequeños de una manera muy eficiente y compacta, y con la que se pueden realizar operaciones aritméticas. El estándar para la representación en coma flotante es el IEEE 754.
miércoles 15 de junio de 2011Aritmética del Computador
Aritmética del computador
Los computadores no almacenan los números con precisión infinita sino de forma aproximada empleando un número fijo de bits o bytes. Prácticamente todos los computadores permiten al programador elegir entre varias representaciones o tipos de datos. Los diferentes tipos de datos pueden diferir en el número de bits empleados, pero también en cómo el número representado es almacenado: en formato fijo (también denominado entero) o en punto flotante (denominado real).
La operación interna de una computadora se basa en la aritmética binaria, en la que la base es el 2 y sólo hay dos símbolos: 0 y 1, pues la memoria de la máquina consiste en un vasto número de dispositivos de registro magnético y electrónico, cada uno de los cuales sólo puede presentar uno de dos posibles estados: magnetizado en un sentido, representando al cero, o magnetizado en el otro sentido, representando al uno. Cada dispositivo magnético es un dígito binario, denominado bit.
Los bits se agrupan en unidades llamadas palabras, las cuales pueden contener 8, 16, 32 o 64 bits, dependiendo de la computadora de que se trate (los tamaños de palabra más usuales son los de 16 o de 32 bits). También se utilizan otras unidades denominadas bytes, constituidos generalmente por 8 bits, y utilizados como particiones de palabras, para representar caracteres. Así, por ejemplo, una palabra de 32 bits consta de 4 bytes.
La manera en que se usan los bits para registrar los números enteros y los números fraccionarios, varía en función del diseño de la computadora
Representación de los números
En un ordenador típico los números en punto flotante se representan de la manera descrita en el apartado anterior, pero con ciertas restricciones sobre el número de dígitos de q y m impuestas por la longitud de palabra disponible (es decir, el número de bits que se van a emplear para almacenar un número). Para ilustrar este punto, consideraremos un ordenador hipotético que denominaremos MARC-32 y que dispone de una longitud de palabra de 32 bits (muy similar a la de muchos ordenadores actuales). Para representar un número en punto flotante en el MARC-32, los bits se acomodan del siguiente modo:
En la mayoría de los cálculos en punto flotante las mantisas se normalizan, es decir, se toman de forma que el bit más significativo (el primer bit) sea siempre '1'. Por lo tanto, la mantisa q cumple siempre la ecuación.
Dado que la mantisa siempre se representa normalizada, el primer bit en q es siempre 1, por lo que no es necesario almacenarlo proporcionando un bit significativo adicional. Esta forma de almacenar un número en punto flotante se conoce con el nombre de técnica del 'bit fantasma'.
Se dice que un número real expresado como aparece en la ecuación y que satisface la ecuación tiene la forma de punto flotante normalizado
En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación científica normalizada. Para expresar un número en notación científica normalizada multiplicamos o dividimos por 10 tantas veces como sea necesario para que todos los dígitos aparezcan a la derecha del punto decimal y de modo que el primer dígito después del punto no sea cero. Por ejemplo:
En general, un número real x distinto de cero, se representa en notación científica normalizada en la forma:
en donde r es un número tal que
y n es un entero (positivo, negativo o cero).
Exactamente del mismo modo podemos utilizar la notación científica en el sistema binario. En este caso, tenemos que:
donde m es un entero. El número q se denomina mantisa y el entero m exponente. En un ordenador binario tanto q como m estarán representados como números en base 2. Puesto que la mantisa q está normalizada, en la representación binaria empleada se cumplirá que:
Los computadores trabajan con aritmética real usando un sistema denominado de punto flotante
Aritmética de punto flotante
Es una forma de notación científica usada en los CPU, GPU, FPU, etc, con la cual se pueden representar números reales extremadamente grandes y pequeños de una manera muy eficiente y compacta, y con la que se pueden realizar operaciones aritméticas. El estándar para la representación en coma flotante es el IEEE 754.
La notación científica, es usada para representar números reales. Siendo r es el número real a representar, la representación en notación científica está compuesta de tres partes:
c. El coeficiente, conformado por un número real con un solo dígito entero seguido de una coma (o punto) y de varios dígitos fraccionarios.
b. La base, que en nuestro sistema decimal es 10, y en el sistema binario de los computadores es 2.
e. El exponente entero, el cual eleva la base a una potencia
BIBLIOGRAFÍA
http://dcb.fi-c.uman.mx
http://mmc2.geofisica.unam.mx/cursos/mcst-2007-II/arch/SisNum.pdf
El usuario se comunica con la computadora en sistema decimal, es decir, introduce en ella y extrae de ella números en base decimal. Al recibir los datos, para poder trabajar con ellos, la computadora los convierte al sistema binario, su lenguaje natural de operación. Todas las operaciones se efectúan en binario y los resultados obtenidos, antes de ser entregados al usuario, la máquina los convierte al sistema decimal. Claro está que la computadora realiza estos procesos a enormes velocidades, de manera que el usuario ni se entera de lo que sucede ahí dentro.
Sin embargo, al efectuar las conversiones y realizar los cálculos se suscitan pequeños errores que, si no se prevén, pueden propagarse y arrojar resultados muy inexactos o totalmente absurdos. Por eso es tan importante el entender la aritmética de las computadoras e identificar las situaciones en que pueden ocurrir errores severos.
La operación interna de una computadora se basa en la aritmética binaria, en la que la base es el 2 y sólo hay dos símbolos: 0 y 1, pues la memoria de la máquina consiste en un vasto número de dispositivos de registro magnético y electrónico, cada uno de los cuales sólo puede presentar uno de dos posibles estados: magnetizado en un sentido, representando al cero, o magnetizado en el otro sentido, representando al uno. Cada dispositivo magnético es un dígito binario, denominado bit (abreviatura de "binary digit").
Los bits se agrupan en unidades llamadas palabras, las cuales pueden contener 8, 16, 32 o 64 bits, dependiendo de la computadora de que se trate (los tamaños de palabra más usuales son los de 16 o de 32 bits). También se utilizan otras unidades denominadas bytes, constituidos generalmente por 8 bits, y utilizados como particiones de palabras, para representar caracteres. Así, por ejemplo, una palabra de 32 bits consta de 4 bytes.
La manera en que se usan los bits para registrar los números enteros y los números fraccionarios, varía en función del diseño de la computadora.
REPRESENTACION DE LOS NUMEROS
Cuando se usa una calculadora o una computadora digital para realizar cálculos numéricos, se debe considerar un error inevitable, el llamado error de redondeo. Este error se origina porque la aritmética realizada en una máquina involucra números con sólo un número finito de dígitos, con el resultado de que muchos cálculos se realizan con representaciones aproximadas de los números verdaderos.
El ordenador recibe, normalmente, información en decimal, que es transformada a binario por un programa interno. Posteriormente efectúa las operaciones pertinentes, pasa el resultado a decimal e informa al usuario de este resultado.
Así pues, en principio deberíamos hablar de las representación de los números en binario (la forma usual de trabajar del ordenador), pero para facilitar la comprensión, usaremos la representación decimal.
La representación de los números en el sistema decimal no es única (considerar que 0:999::: = 1:000:::). Esto también es cierto para otros sistemas de numeración, y en particular para el sistema binario. Para evitar estas ambiguedades, siempre nos referiremos a la representación finita (1 en vez de 0.999...).
En general los ordenadores digitales trabajan con un número fijo (finito) de posiciones, la longitud de palabra, cuando representan un número internamente. Esta longitud n depende de la máquina, y además algunas permiten extensiones a múltiplos enteros de n (2n, 3n, ...) que posibilitan una mayor exactitud si se necesita. Una palabra de longitud n se puede utilizar de distintas formas para representar un número:
• Punto fijo especifica un númerofijo n1 de lugares enteros, y un númerofijo n2 de decimales, de modo que n = n1+n2. En esta representación, la posición del punto decimal está fija y son pocos los dispositivos que la utilizan (ciertas máquinas de calcular, o máquinas de tipo comercial). Ejemplo 1. Sea n = 8, n1 = 3 y n2 = 5. En el sistema decimal se tienen las siguientes representaciones: 81:46 ¡! j 0 8 1 j 4 6 0 0 0 j 0:0002 ¡! j 0 0 0 j 0 0 0 2 0 j :
• Punto flotante La posición del punto decimal con respecto al primer dígito se expresa con un númeroseparado, denominado exponente. Así se obtiene la notación científica: x = a ¤ bt; con jaj < 1; b 2 N; t 2 Z donde b es la base del sistema de numeración, t es un exponente llamado característica y a se llama la mantisa. Además si jaj ¸ b¡1, es decir que el primer dígito despues del punto raiz no es cero, se dice que la representación es normalizada.
ARITMÉTICA DE PUNTO FLOTANTE
Es una forma de notación científica usada en los CPU, GPU, FPU, etc, con la cual se pueden representar números reales extremadamente grandes y pequeños de una manera muy eficiente y compacta, y con la que se pueden realizar operaciones aritméticas. El estándar para la representación en coma flotante es el IEEE 754.
miércoles 15 de junio de 2011Aritmética del Computador
Aritmética del computador
Los computadores no almacenan los números con precisión infinita sino de forma aproximada empleando un número fijo de bits o bytes. Prácticamente todos los computadores permiten al programador elegir entre varias representaciones o tipos de datos. Los diferentes tipos de datos pueden diferir en el número de bits empleados, pero también en cómo el número representado es almacenado: en formato fijo (también denominado entero) o en punto flotante (denominado real).
La operación interna de una computadora se basa en la aritmética binaria, en la que la base es el 2 y sólo hay dos símbolos: 0 y 1, pues la memoria de la máquina consiste en un vasto número de dispositivos de registro magnético y electrónico, cada uno de los cuales sólo puede presentar uno de dos posibles estados: magnetizado en un sentido, representando al cero, o magnetizado en el otro sentido, representando al uno. Cada dispositivo magnético es un dígito binario, denominado bit.
Los bits se agrupan en unidades llamadas palabras, las cuales pueden contener 8, 16, 32 o 64 bits, dependiendo de la computadora de que se trate (los tamaños de palabra más usuales son los de 16 o de 32 bits). También se utilizan otras unidades denominadas bytes, constituidos generalmente por 8 bits, y utilizados como particiones de palabras, para representar caracteres. Así, por ejemplo, una palabra de 32 bits consta de 4 bytes.
La manera en que se usan los bits para registrar los números enteros y los números fraccionarios, varía en función del diseño de la computadora
Representación de los números
En un ordenador típico los números en punto flotante se representan de la manera descrita en el apartado anterior, pero con ciertas restricciones sobre el número de dígitos de q y m impuestas por la longitud de palabra disponible (es decir, el número de bits que se van a emplear para almacenar un número). Para ilustrar este punto, consideraremos un ordenador hipotético que denominaremos MARC-32 y que dispone de una longitud de palabra de 32 bits (muy similar a la de muchos ordenadores actuales). Para representar un número en punto flotante en el MARC-32, los bits se acomodan del siguiente modo:
En la mayoría de los cálculos en punto flotante las mantisas se normalizan, es decir, se toman de forma que el bit más significativo (el primer bit) sea siempre '1'. Por lo tanto, la mantisa q cumple siempre la ecuación.
Dado que la mantisa siempre se representa normalizada, el primer bit en q es siempre 1, por lo que no es necesario almacenarlo proporcionando un bit significativo adicional. Esta forma de almacenar un número en punto flotante se conoce con el nombre de técnica del 'bit fantasma'.
Se dice que un número real expresado como aparece en la ecuación y que satisface la ecuación tiene la forma de punto flotante normalizado
En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación científica normalizada. Para expresar un número en notación científica normalizada multiplicamos o dividimos por 10 tantas veces como sea necesario para que todos los dígitos aparezcan a la derecha del punto decimal y de modo que el primer dígito después del punto no sea cero. Por ejemplo:
En general, un número real x distinto de cero, se representa en notación científica normalizada en la forma:
en donde r es un número tal que
y n es un entero (positivo, negativo o cero).
Exactamente del mismo modo podemos utilizar la notación científica en el sistema binario. En este caso, tenemos que:
donde m es un entero. El número q se denomina mantisa y el entero m exponente. En un ordenador binario tanto q como m estarán representados como números en base 2. Puesto que la mantisa q está normalizada, en la representación binaria empleada se cumplirá que:
Los computadores trabajan con aritmética real usando un sistema denominado de punto flotante
Aritmética de punto flotante
Es una forma de notación científica usada en los CPU, GPU, FPU, etc, con la cual se pueden representar números reales extremadamente grandes y pequeños de una manera muy eficiente y compacta, y con la que se pueden realizar operaciones aritméticas. El estándar para la representación en coma flotante es el IEEE 754.
La notación científica, es usada para representar números reales. Siendo r es el número real a representar, la representación en notación científica está compuesta de tres partes:
c. El coeficiente, conformado por un número real con un solo dígito entero seguido de una coma (o punto) y de varios dígitos fraccionarios.
b. La base, que en nuestro sistema decimal es 10, y en el sistema binario de los computadores es 2.
e. El exponente entero, el cual eleva la base a una potencia
BIBLIOGRAFÍA
http://dcb.fi-c.uman.mx
http://mmc2.geofisica.unam.mx/cursos/mcst-2007-II/arch/SisNum.pdf
martes, 31 de mayo de 2011
ANÁISIS NUMÉRICO
QUÉ ES EL ANÁLISIS NUMÉRICO
El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.[1]
Es una disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.[2]
PARA QUÉ NOS SIRVE EL ANÁLISIS NUMÉRICO
· Sirve para solucionar problemas del mundo real.
· Sirve para formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
· Sirve para comprender los conceptos de las matemáticas (puras) observando cómo algunos de ellos deben modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales.
· Otro motivo que ha propiciado el auge del análisis numérico ha sido el desarrollo de los ordenadores. El aumento de la potencia de cálculo ha convertido en posibles y en eficientes a algoritmos poco dados a su realización a mano.
· Sirve para diseñar métodos para "aproximar" de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.
· Sirve para encontrar soluciones "aproximadas" a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.
CUÁNDO SE REALIZA EL ANÁLISIS NUMÉRICO
· Se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta.
EJEMPLO
Un paracaidista con masa, m = 68.1 kg salta de un globo fijo. Calcular la velocidad antes de abrir el paracaídas. El coeficiente de resistencia es de aproximadamente c = 12.5 kg/s. Aceleración debida a la gravedad g = 9.8 m/s2.
Primero se procede a determinar una expresión matemática (fórmula) que contenga la mayor cantidad de variables y parámetros posible, con el fin de describir el fenómeno a estudiar de la mejor manera intentando asemejar la realidad.
Por la Segunda Ley de Newton:
Esta fórmula relaciona las fuerzas (F) involucradas en el fenómeno con la masa (m) del cuerpo y la aceleración (a) del cuerpo en caída libre.
Despejando el término de la aceleración, a, y representándolo como la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo, también determinando las fuerzas externas a las que está sometido el cuerpo, FD: Fuerza debida a la gravedad, y FU: Fuerzas debido a la resistencia del aire; y reemplazando:
Simplificando:
Ésta es una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae, con las fuerzas que actúan sobre él. Si el cuerpo está inicialmente en reposo (v = 0, t = 0). La EDO se puede resolver por los métodos clásicos (solución analítica) o recurrir a aproximaciones numéricas para encontrar un valor cercano a la respuesta verdadera.
- Solución analítica (teórica): Este problema en particular posee solución analítica, que entrega resultados "exactos".
Sustituyendo los datos de entrada del enunciado en la ecuación anterior:
- Solución numérica (aproximada): Aproximando la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo:
El cuál resulta del cálculo:
Esta ecuación se denomina diferencia finita dividida, y es una aproximación de la derivada en el tiempo i, ti.
Sustituyendo en la ecuación aproximada:
Reordenando:
El significado de la anterior ecuación puede resumirse así:
Nuevo valor = viejo valor + pendiente x tamaño de paso
Al principio de los cálculos (t = 0), la velocidad del paracaidista es igual a cero (0). Con esta información y los valores de los parámetros dados, se puede usar la última ecuación para calcular la velocidad en cada uno de los tiempos siguientes. Empleando un tamaño de paso (ti+1 - ti) igual a 2s.
- Comparación de la solución exacta y la aproximada:
BIBLIOGRAFÍA
http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=24477
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