BIBLIOGRAFÍA
martes, 31 de mayo de 2011
ANÁISIS NUMÉRICO
QUÉ ES EL ANÁLISIS NUMÉRICO
El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.[1]
Es una disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.[2]
PARA QUÉ NOS SIRVE EL ANÁLISIS NUMÉRICO
· Sirve para solucionar problemas del mundo real.
· Sirve para formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
· Sirve para comprender los conceptos de las matemáticas (puras) observando cómo algunos de ellos deben modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales.
· Otro motivo que ha propiciado el auge del análisis numérico ha sido el desarrollo de los ordenadores. El aumento de la potencia de cálculo ha convertido en posibles y en eficientes a algoritmos poco dados a su realización a mano.
· Sirve para diseñar métodos para "aproximar" de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.
· Sirve para encontrar soluciones "aproximadas" a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.
CUÁNDO SE REALIZA EL ANÁLISIS NUMÉRICO
· Se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta.
EJEMPLO
Un paracaidista con masa, m = 68.1 kg salta de un globo fijo. Calcular la velocidad antes de abrir el paracaídas. El coeficiente de resistencia es de aproximadamente c = 12.5 kg/s. Aceleración debida a la gravedad g = 9.8 m/s2.
Primero se procede a determinar una expresión matemática (fórmula) que contenga la mayor cantidad de variables y parámetros posible, con el fin de describir el fenómeno a estudiar de la mejor manera intentando asemejar la realidad.
Por la Segunda Ley de Newton:
Esta fórmula relaciona las fuerzas (F) involucradas en el fenómeno con la masa (m) del cuerpo y la aceleración (a) del cuerpo en caída libre.
Despejando el término de la aceleración, a, y representándolo como la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo, también determinando las fuerzas externas a las que está sometido el cuerpo, FD: Fuerza debida a la gravedad, y FU: Fuerzas debido a la resistencia del aire; y reemplazando:
Simplificando:
Ésta es una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae, con las fuerzas que actúan sobre él. Si el cuerpo está inicialmente en reposo (v = 0, t = 0). La EDO se puede resolver por los métodos clásicos (solución analítica) o recurrir a aproximaciones numéricas para encontrar un valor cercano a la respuesta verdadera.
- Solución analítica (teórica): Este problema en particular posee solución analítica, que entrega resultados "exactos".
Sustituyendo los datos de entrada del enunciado en la ecuación anterior:
- Solución numérica (aproximada): Aproximando la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo:
El cuál resulta del cálculo:
Esta ecuación se denomina diferencia finita dividida, y es una aproximación de la derivada en el tiempo i, ti.
Sustituyendo en la ecuación aproximada:
Reordenando:
El significado de la anterior ecuación puede resumirse así:
Nuevo valor = viejo valor + pendiente x tamaño de paso
Al principio de los cálculos (t = 0), la velocidad del paracaidista es igual a cero (0). Con esta información y los valores de los parámetros dados, se puede usar la última ecuación para calcular la velocidad en cada uno de los tiempos siguientes. Empleando un tamaño de paso (ti+1 - ti) igual a 2s.
- Comparación de la solución exacta y la aproximada:
BIBLIOGRAFÍA
http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=24477
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